Variância e desvio padrão com exercícios resolvidos

Variância e desvio padrão

Variância e desvio padrão são medidas de dispersão que indicam a regularidade de um conjunto de dados em função da média aritmética.

Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro em Estatística

A variância e o desvio padrão verificam a dispersão em um conjunto de valores

Imagine a seguinte situação: o dono de uma microempresa pretende saber, em média, quantos produtos são produzidos por cada funcionário em um dia. O chefe tem conhecimento que nem todos conseguem fazer a mesma quantidade de peças, mas pede que seus funcionários façam um registro de sua produção em uma semana de trabalho. Ao fim desse período, chegou-se à seguinte tabela:

Para saber a produção média de seus funcionários, o chefe faz o cálculo da média aritmética de produção, isto é, a soma do número de peças produzido em cada dia dividida pela quantidade analisada de dias.

A partir desse cálculo, temos a produção diária média de cada funcionário. Mas se observarmos bem a tabela, veremos que há valores distantes da média. O funcionário B, por exemplo, produz uma média de 12,8 peças por dia. No entanto, houve um dia em que ele produziu 16 peças e outro dia em que ele confeccionou apenas 10 peças. Será que o processo utilizado pelo dono da empresa é suficiente para o seu propósito?

Para esse exemplo, ficou fácil concluir que há uma grande variação entre a produção de cada funcionário. Mas e se essa fosse uma grande empresa, com mais de mil funcionários, ou se fosse observada a produção em um ano, será que conseguiríamos definir essa variação com tanta facilidade?

O estudo da Estatística apresenta medidas de dispersão que permitem a análise da dispersão dos dados. Inicialmente veremos a variância, uma medida de dispersão (ou de variabilidade) que mostra quão distantes os valores estão da média. Nesse caso, como estamos analisando todos os valores de cada funcionário, e não apenas uma “amostra”, trata-se do cálculo da variância populacional (var).

O cálculo da variância populacional é obtido através da soma dos quadrados da diferença entre cada valor e a média aritmética, dividida pela quantidade de elementos observados. Observe o cálculo simplificado para esse exemplo:

Observação: se estivéssemos trabalhando com a variância amostral, dividiríamos pela quantidade de elementos observados subtraída de um (– 1). Nesse exemplo, teríamos: 5 dias – 1 = 4 dias.

Vamos então calcular a variância populacional para cada funcionário:

Variância → Funcionário A:

var (A) = (10 – 10)² + (9 – 10)² + (11 – 10)² + (12 – 10)² + (8 – 10)²

var (A) = 10 = 2,0

Variância → Funcionário B:

var (B) = (15 – 12,8)² + (12 – 12,8)² + (16 – 12,8)² + (10 – 12,8)² + (11 – 12,8)²

var (B) = 26,8 = 5,36

Variância → Funcionário C:

var (C) =

(11 – 10,4)² + (10 – 10,4)² + (8 – 10,4)² + (11 – 10,4)² + (12 – 10,4)²

var (C) = 9,2 = 1,84

Variância → Funcionário D:

var (D) = (8 – 11)² + (12 – 11)² + (15 – 11)² + (9 – 11)² + (11 – 11)²

var (D) = 30 = 6,0

Podemos afirmar que a produção diária do funcionário C é mais uniforme do que a dos demais funcionários, assim como a quantidade de peças diárias de D é a mais desigual. Quanto maior for a variância, mais distantes da média estarão os valores, e quanto menor for a variância, mais próximos os valores estarão da média.

Em algumas situações, apenas o cálculo da variância pode não ser suficiente, pois essa é uma medida de dispersão muito influenciada por valores que estão muito distantes da média. Além disso, o fato de a variância ser calculada “ao quadrado” causa uma certa camuflagem dos valores, dificultando sua interpretação. Uma alternativa para solucionar esse problema é o desvio padrão, outra medida de dispersão.

O desvio padrão (dp) é simplesmente o resultado positivo da raiz quadrada da variância. Na prática, o desvio padrão indica qual é o “erro” se quiséssemos substituir um dos valores coletados pelo valor da média. Vamos agora calcular o desvio padrão da produção diária de cada funcionário:

Desvio Padrão → Funcionário A:

dp(A) = √var (A)

dp(A) = √2,0

dp(A) ≈ 1,41

Desvio Padrão → Funcionário B:

dp(B) = √var (B)

dp(B) = √5,36

dp(B) ≈ 2,32

Desvio Padrão → Funcionário C:

dp(C) = √var (C)

dp(C) = √1,84

dp(C) ≈ 1,36

Desvio Padrão → Funcionário D:

dp(D) = √var (D)

dp(D) = √6,0

dp(D) ≈ 2,45

Podemos ver a utilização do desvio padrão na apresentação da média aritmética, informando o quão “confiável” é esse valor. Isso é feito da seguinte forma:

média aritmética (x) ± desvio padrão (dp)

Se o dono da empresa de nosso exemplo pretende concluir seu relatório com a produção média diária de seus funcionários, ele fará da seguinte forma:

Funcionário A: 10,0 ± 1,41 peças por dia

Funcionário B: 12,8 ± 2,32 peças por dia

Funcionário C: 10,4 ± 1,36 peças por dia

Funcionário D: 11,0 ± 2,45 peças por dia

Disponível em: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/variancia-desvio-padrao.htm

Exercício 1: (Enem 2012)

Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m² e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m² ).

A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)² é

A)	20,25.
B)	4,50
C)	0,71
D)	0,50
E)	0,25 https://www.infoescola.com/estatistica/variancia-e-desvio-padrao/exercicios/

Resolução

30 000 m^{2 está para}90 kg/talhão

10 000 m^{2 está para}60 kg/hectare (informações).

Mas um talhão corresponde a três hectares

30 000 m^{2 estão para}90 kg/3 hectares

10 000 m^{2 estão para}60 kg/hectare (informações).

10 000 m^{2 estão para}30 kg/ hectare ==>

10 000 m^{2 estão para}60 kg/hectare (informações).

Desvio padrão:

30 kg/ hectare / 60 kg/hectare

30/60 = 0,5

A variância é igual ao quadrado do desvio padrão. Como a unidade pedida é em (sacas/ha)², o desvio padrão deve ser encontrado em sacas/ha. Como cada saca tem 60 kg, o desvio padrão é de 0,5. Assim, a variância corresponde a 0,52=0,25(sacas/ha)².