sexta-feira, 18 de novembro de 2016

Exercícios de tronco de pirâmide e de cone - Atualização constante

  1. (Ufsc) O volume, em cm3, de um cubo circunscrito a uma esfera de 16πcm³ de superfície é:
a) 8 b) 16 c) 64 d) 256 e) 512 


Lado ( quadrado ) = 2 raio da circunferência 

S ( circunferência ) = 


4 * π * r ^2 


16 pi cm ² = 4 pi r ²
 
r ² = 4
 
r = = + / - ( 2 )

 r = + 2 


L = 2 * r = 2 * 2 = 4 cm 

V = a ³
 
V = ( 4 ) ³ 

V = 64 cm ³
  1. (Ufrs) A figura abaixo representa um cilindro circunscrito a uma esfera.

Se V1 é o volume da esfera e V2 é o volume do cilindro, então a razão V1/ (V2 - V1) é:
a) 1/3 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 3







V1=4πr³/3 e V2= 2πr³. 



Então V1/(V2-V1)= (4πr³/3)/(2πr³-(4πr³/3)). 



Simplificando π e r³, que aparecem em todos os termos, resta 

(4/3)/( 2-(4/3)). 

(4/3)/(6/3-(4/3) =

(4/3)/(2/3) =

Transformando a divisão de fração em multiplicação:

4/3 * 3/2 = 4/2 = 2 (como é uma razão entre volumes ela é adimensional)
  
 
  1. (Ufrs) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar-se ao fundo, de modo que a água do copo recubra exatamente a esfera.

Resultado de imagem para Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar-se ao fundo, de modo que a água do copo recubra exatamente a esfera



Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era :
a) 27/8 cm b) 19/6 cm c) 18/5 cm d) 10/3 cm e) 7/2 cm


  1. (Ufc) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e contém água até a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior número de esferas de aço, de 1 cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água não transborde.
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18

  1. (Ufpe) Um cone circular reto, com altura igual a 60 cm, é interceptado por um plano perpendicular ao seu eixo, resultando numa circunferência de raio igual a 40 cm. Se a distância deste plano à base do cone é de 30 cm, quanto mede o raio, em cm, da base do cone?
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 120



  1. (Ufpe) Na figura a seguir, o segmento PQ está contido no plano cartesiano onde P(1,1) e Q(2,0). Seja V cm3 o volume do sólido obtido ao girarmos a região hachureada, através de uma rotação de 360°, em torno do eixo Oy. O valor inteiro mais próximo de V é:
Resultado de imagem para Na figura a seguir, o segmento PQ está contido no plano cartesiano onde P(1,1) e Q(2,0). Seja V cm3 o volume do sólido obtido ao girarmos a região hachureada, através de uma rotação de 360°, em torno do eixo Oy. O valor inteiro mais próximo de V é:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 12



A fórmula do volume do tronco de cone é obtida fazendo a diferença entre o volume do cone original e o volume do cone menor, gerado após a secção transversal do plano. Realizando os cálculos da diferença entre esses dois volumes, obtemos a fórmula:
Onde temos que:
h → é a altura do tronco de cone.

R → é o raio da base maior.

r → é o raio da base menor.


            
             A altura AB = 1 

R = 2

r = 1


Aplicando diretamente na fórmula:




V = π *1/3 [4 +2 + 1]

V = π *1/3 [7]

V = 7 π/3 uv (unidades de volume)


Se considerarmos o π=3.
============

V = 7 Uv

      ===========

  1. (UFRJ) No teto de um centro de convenções será instalada uma luminária que terá a forma da figura a seguir, onde estão representados:


Resultado de imagem para o tronco de pirâmide reta NPQRUVST de bases retangulares;  - a pirâmide reta MNPQR de base retangular e altura igual a 1m;  - o ponto M localizado no centro do retângulo VSTU.
- o tronco de pirâmide reta NPQRUVST de bases retangulares;
- a pirâmide reta MNPQR de base retangular e altura igual a 1m;
- o ponto M localizado no centro do retângulo VSTU.

Sabe-se que UT=2m, UV=1m, NP=1m e PQ=0,5m.
Determine o volume do sólido exterior à pirâmide MNPQR e interior ao tronco de pirâmide NPQRUVST.


  1. (Vunesp) Uma caixa d’água gigante abastece parte de uma cidade. Este reservatório tem forma de um tronco de cone, com diâmetros das bases medindo 12m e 22m. A geratriz deste tronco mede 13m. A capacidade em litros deste reservatório é de aproximadamente:
a) 0,8 mil.
b) 1,8 milhares.
c) 0,8 milhão .
d) 1,8 milhão.
e) 2,8 milhões.


  1. As bases de um tronco de pirâmide regular são quadrados de lados 2 cm e 8 cm, respectivamente. A aresta lateral do tronco mede 5 cm. Calcule a área lateral e a área total do tronco.


  1. Um tronco de pirâmide cujas bases são quadrados de lados 6 m e 16 m têm altura igual a 12 m. Qual sua área total e seu volume.
Resolução: Um tronco de pirâmide cujas bases são
* quadrados de lados 6 m e 16 m têm 
* altura igual a 12 m. 

Pede-se:  Qual sua área total e seu volume.

 Lado da base menor: 6 m

Lado da base maior: 16 m

Volume:

V(tronco) = 1/3 * 12 * (256 + 96 + 36)

==============
V(tronco) = 1.552 m³
==============
A = Aresta Lateral
A² = 12² +   5²

A² = 14

A² = 144 + 128 – 96 + 18

A = √194 m

Temos quatro trapézios como faces laterais e dois quadrados como faces inferior e superior.

O trapézio será:

Base maior = 16 m


Base menor = 6 m

Aresta Lateral: √194 m

Preciso de X = Altura do trapézio

S (trapézio)= x * (6 + 16)/2

S (trapézio)= x * 11

x²+ 5² = 194

x = 13

S (trapézio)= 13 * 11 = 143


S (total) = 143 * 4 + 256 + 36

S (total) = 572 + 256 + 36
================
S (total) = 864 m²
================



Gabarito:  
1c, 
2d, 
3d, 
4e, 
5c, 
6c, 
7: 1m3
8e, 
9 : 80 e 148, 
10: 864 e 1552










https://professorrodrigomatematica.files.wordpress.com/2014/06/tronco-de-pirc3a2mides.pdf




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