sexta-feira, 26 de fevereiro de 2016

Função do 2º grau

MMN e Propedêutica: 09 - Função do 2º grau:




Função de 2.º Grau


Por Diego Cordeiro e Emanuel Jaconiano
Professores do Colégio Qi




INTRODUÇÃO


Para a entender a Função de 2.º Grau - importante tema para o Enem -, acompanhe o seguinte raciocínio: na física, sabe-se que a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal é um arco de parábola com a concavidade voltada para baixo. 


Função Quadrática (Foto: Colégio Qi)
Adotando a origem O do sistema de eixos coordenados no ponto de lançamento, pode-se demonstrar que a altura atingida, num determinado instante, por esse projétil (ordenada y) e a distância alcançada, nesse mesmo instante, na horizontal (abscissa x) relacionam-se de acordo com a função definida pela sentença y = A.x2 + B.x, na qual A é uma constante que depende do ângulo de tiro, da velocidade vo de lançamento e da aceleração local da gravidade, e B é um valor constante que depende do ângulo do tiro. Tal função descrita acima é uma função polinomial do 2º grau ou também conhecida como função quadrática. Esta função tem aplicação em diversos cálculos.
DEFINIÇÃO

Função Polinomial do 2.º Grau ou Função Quadrática é a função real definida por:
f(x) = ax2 + bx + c, 
onde a, b e c são coeficientes reais, sendo a ≠ 0. 

Vejamos alguns exemplos de função quadrática:


a) y = x

2


– 5x + 6, na qual a = 1, b = -5 e c = 6



b) y = - x

2


+ x + 4, na qual a = - 1, b = 1 e c = 4



c) y = 3x

2


– 4x, na qual a = 3, b = -4 e c = 0



d) y = 2x

2


– 1, na qual a = 2, b = 0 e c = -1
PROPRIEDADES GRÁFICAS

O gráfico da Função Polinomial do 2º Grau y = ax2 + bx + c é uma parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y, passando pelo vértice da parábola. 
Função Quadrática (Foto: Colégio Qi)
Observe que o eixo de simetria intercepta o eixo x (eixo das abscissas) num ponto equidistante das raízes, além de interceptar a parábola em seu ponto de máximo ou em seu ponto de mínimo. A parábola terá ponto de máximo ou de mínimo de acordo com a sua concavidade. Observe isso atentamente agora.
Concavidade da parábola
A parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola tem a concavidade voltada para cima quando a > 0 enquanto tem a concavidade voltada para baixo quando a < 0. Observe:
a > 0 a < 0
Interseção da parábola com o eixo x (eixo das abscissas):
A parábola intercepta o eixo x (eixo das abscissas) no ponto (x,0), ou seja, sempre que y for igual a zero. Logo, temos que ax2 + bx + c = 0. As raízes da função são raízes da equação do 2º grau, ou seja, x = -b ± b2-4ac2a 
Repare que, sendo ∆ = b2 – 4ac, podemos ter: 

Δ

< 0 = a parábola não intercepta o eixo Ox.

Δ

= 0 = a parábola é tangente ao eixo Ox.

Δ

> 0 = a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos.

Observe as possibilidades descritas abaixo:


Figura (Foto: Colégio Qi)


INTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO Y (EIXO DAS ORDENADAS):
A parábola intercepta o eixo das ordenadas sempre quando temos o valor de x igual a zero, ou seja, y = a.02 + b.0 + c = 0 + 0 + c = c. Logo, a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,c).
VÉRTICE DA PARÁBOLA:
O vértice da parábola determina o ponto de mínimo ou de máximo da função. Tal vértice será o par ordenado (xv,yv). Vamos determinar o xv:
Como o eixo de simetria passa pelo vértice e é equidistante as raízes, temos que o xvé a média aritmética das raízes. Para calcularmos a média aritmética entre duas raízes, basta somarmos os valores e, em seguida, dividir o resultado da soma por dois. Então, o xv será: 
xv = −
EXERCÍCIO


1 - (ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11000
b) 22000
c) 33000
d) 38000
e) 44000


Solução: Sendo P = 44 000 temos R(x) = kx(44 000 – x)
R(x) = -kx

2


+ 44 000kx

Para se obter o número de pessoas onde teremos a máxima rapidez de propagação, basta utilizar o xv = - b/2a = -44 000/-2 = 22 000
Letra B. 


http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/funcao-de-2-grau.html

Visualizações de páginas da semana passada

Arquivo do blog

Seguir-me através de Email

Seguidores

Total de visualizações de página