Questão 169 - ENEM 2010 — Matemática e suas Tecnologias - Com Vídeo

169

Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.



O raio da perfuração da peça é igual a
a
1 cm.
b
2 cm.
c
3 cm.
d
4 cm.
e
5 cm.

http://hupples.com/#!/grupo/100004/lista/1000025/questao-169




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RESOLUÇÃO: Veja o vídeo
https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=dMMKxMw7Wx8



Solução simples:


Perceba que o triangulo é pitagórico (3,4,5) => 6,8,10
Portanto, a circunferência está inscrita em um triângulo retângulo.

O raio da circunferência é calculado por:
 
R = (a+b-c)/2, onde c é a hipotenusa e a e b são os catetos.
 
R = (6+8-10)/2
 
R = 2cm
Outra solução:

Seja o triângulo retângulo ABC onde AH é a altura relativa à hipotenusa.

A soma dos raios dos círculos inscritos nos triângulos ABC, ABH e ACH é igual à medida da altura AH, isto é,    r + r1 + r2 = h .

A demonstração dessa propriedade está baseada no cálculo do raio do círculo inscrito no triângulo retângulo, como mostrado na figura:




R = (a+b-c)/2, onde c é a hipotenusa e a e b são os catetos.

R = (6+8-10)/2


R = 2 cm

http://www.dinamatica.com.br/2011/11/circulos-inscritos-no-triangulo.html


D.A. RESOLVE (solução mais rebuscada)

O primeiro passo é esquematizar uma vista da base do prisma com os pontos de tangência da circunferência do orifício com as faces laterais, vê-se:


O triângulo ABC é pitagórico e, portanto, trata de um triângulo retângulo em C. O LadoAB é a hipotenusa e os lados AC e BC são os catetos.
Percebe-se que OP e ON são raios da circunferência de centro O. Como o ângulo C é reto, mede 90°, fica fácil visualizar o quadrado ONCP.
O segundo passo é identificar as medidas dos segmentos de reta AMMBBPPCCNNA. Vê-se:


O quadrado ONCP tem quatro lados iguais, portando, OP = ON = NC = PC = r. Tem-se:


Agora, o terceiro passo é perceber que existem alguns triângulos mais que semelhantes, na verdade, idênticos. Tem-se:


Devido a semelhança de triângulos os segmentos são equivalentes AN = AM e BP = BM.
O quarto passo é equacionar as equivalências com os valores de cada segmento de reta e realizar os cálculos necessários, tem-se:


Após resolver o sistema de equações do 1º grau descobriu-se que o raio do orifício feito no prisma é 2 cm.

Alternativa B


http://www.da-educa.com/2010_11_01_archive.html










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