Quantos são os inteiros positivos, menores que 1 000 que tem seus dígitos no conjunto {1, 2, 3 }

8. Quantos são os inteiros positivos, menores que 1 000 que tem seus dígitos no conjunto {1, 2, 3 }?

a) 15                                   

b) 23                                    

c) 28                            

d) 39                                    

e) 42

Solução. Não especificou-se quantos algarismos deve ter o número. Logo, devemos calcular para os casos de 1, 2 ou 3 algarismo. Nenhum número de 4 algarismo será formado.

a) 1 algarismo: números 1, 2 ou 3. Logo três possibilidades.

b) 2 algarismos: 3 possibilidades para as dezenas e 3 nas unidades. Logo 3 * 3 = 9 possibilidades.

c) 3 algarismos: 3 possibilidades para as centenas, 3 para as dezenas e 3 para as unidades: 3 * 3 * 3 = 27

Logo o total de números menores que 1000 é: 27 + 9 + 3 = 39 casos.

Veja:

• "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, não pode haver repetição de algarismo. Com outras palavras, cada número deve ter três algarismos diferentes. Quantos números podem ser escritos nestas condições?"

Observe que os números 213 e 312 satisfazem as condições do problema, mas os números 311, 413 e 1123 não servem. Para resolver o problema vamos nos imaginar escrevendo um número de três algarismos, obedecendo as restrições mencionadas no problema. Ao escrever o algarismo das centenas temos 3 possibilidades.

Ao escrever o algarismo das dezenas não podemos usar aquele que já foi usado nas centenas. Portanto, para cada uma das maneiras de escolher o dígito das centenas temos duas maneiras de escolher o das dezenas.

Ao escrever o algarismo das unidades não podemos repetir nenhum dos dois que já foram usados nas centenas e dezenas. Logo, para cada uma das maneiras de escrever os dois primeiros algarismos temos uma só escolha para o último dígito.

Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 2 x 1 = 6 números: 123, 132, 213, 231, 312 e 321.

No módulo 1 propusemos alguns problemas parecidos com este que acabamos de resolver. Naquela ocasião, ao resolver os problemas, não exploramos o raciocínio combinatório.

O problema seguinte é parecido com o anterior. Mas há uma diferença entre eles!

• "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, pode haver repetição de algarismos. Quantos e quais números podem ser escritos nestas condições?"

Vamos construir a árvore das possibilidades para este problema:

Temos 3 possibilidades para escolher o algarismo das centenas. Para cada uma delas, há 3 maneiras de escolher o dígito das dezenas. Portanto há 3 x 3 = 9 modos de escolher aqueles dois dígitos. Para cada uma destas 9 maneiras há 3 possibilidades de escolha para o algarismo das unidades. Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 3 x 3 = 27 números. Na árvore das possibilidades podemos ver quais são estes números.