QUESTÃO 166 - ENEM 2013 - Matemática e suas tecnologias

ENEM 2013  QUESTÃO 166

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Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza a metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão o M(t) = onde A é a massa inicial e k uma constante negativa.

Considere 0,3 como aproximação para log10 2.

 2.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

1. A
   27
2. B
   36
3. C
   50
4. D
   54
5. E
   100

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Resolução

(i) Dizer que a massa do Césio se reduziu a 10% da quantidade inicial corresponde a dizer que a massa final (M) é igual a 10 cem avos (10/100) da massa inicial. Ou, como M(t)=A−(2,7)kt, podemos dizer que M(t)=0,1A

Portanto, 0,1A=A(2,7)kt

Dividindo-se ambos os lados por A, temos: 2,7kt=0,1. Como, o valor de t é o que queremos descobrir e, não sabemos o valor da constante k, não há mais o que fazer.

(ii)Para descobrirmos o valor de k, vamos utilizar a outra informação que o exercício nos fornece é a de que a meia vida do Césio é de 30 anos. Portanto sabemos que para t=30 anos, a massa de Césio passa de A a A/2 (diminui pela metade), portanto M(30)=A2

Substituindo estes valores na equação geral temos: A2=A(2,7)k.30⇔12=2,730k⇔2−1=2,730k

O valor que queremos descobrir (constante k) é o expoente. Essa é uma boa dica de que utilizaremos a ideia de logaritmo para resolver este problema.

Portanto, aplicando o logaritmo de base 10 aos dois lados desta igualdade, temos:

log102,730k=log102−1⇔30klog102,7=−log102

Sendo assim,

k=−log102log102,7⇔−0,330log102,7⇔−1100log102,7

(iii)Agora que já temos o valor de k, podemos voltar em (i)

Como 2,7kt=0,1, podemos utilizar a estratégia do logaritmo novamente:

log102,7kt=log100,1⇔kt.log102,7=log1010−1⇔−1100log102,7.t.log102,7=−1⇔t=100

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Resposta: Alternativa E

RESPOSTA CORRETA:

E

100

http://www.escolasimetria.com.br/enem2013/questao/162

http://educacao.globo.com/provas/enem-2013/questoes/166.html

http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-166-matematica-758536.shtml