Determinantes

Determinante de uma matriz quadrada

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:

A=	a₁₁	a₁₂
	a₂₁	a₂₂

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:

det(A) = a₁₁ a₂₂ - a₂₁ a₁₂

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:

A=	a₁₁	a₁₂	a₁₃
	a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

definimos o determinante de A, como:

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃

- a₁₁a₃₂a₂₃ - a₂₁a₁₂a₃₃ - a₃₁a₂₂a₁₃

Regra prática de Sarrus

Dada a matriz A de ordem 3:

A=	a₁₁	a₁₂	a₁₃
	a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.

a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₁	a₁₂
a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₁	a₂₂
a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₁	a₃₂

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais quedescem devem ter o sinal positivo.

a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₁	a₁₂
a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₁	a₂₂
a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₁	a₃₂

Produto cor amarela	+a₁₁a₂₂a₃₃
Produto cor verde	+a₁₂a₂₃a₃₁
Produto cor azul	+a₁₃a₂₁a₃₂

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais quesobem devem ter o sinal negativo.

a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₁	a₁₂
a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₁	a₂₂
a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₁	a₃₂

Produto cor rosa	-a₁₁a₂₂a₃₃
Produto cor bege	-a₁₂a₂₃a₃₁
Produto cor khaki	-a₁₃a₂₁a₃₂

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃ - a₁₁a₃₂a₂₃ - a₂₁a₁₂a₃₃ - a₃₁a₂₂a₁₃

Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Propriedades dos determinantes

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.

Se I_n é a matriz identidade, então:

det(I_n) = 1
Se N é uma matriz nula, então:

det(N) = 0
Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:

det(A) = 0
A matriz A bem como a sua transposta A^t, possuem o mesmo determinante de A, isto é:

det(A^t) = det(A)
Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:

det(B) = k det(A)
Se B=kA, onde k é um escalar, então:

det(B) = kⁿ det(A)
Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:

det(B) = - det(A)
Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:

det(A) = 0
Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então:

det(A) = 0
Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:

det(A) = 0
Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.
Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.