Quadrados Mágicos

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A lógica dos quadrados mágicos

A LÓGICA DO QUADRADO MÁGICO 3X3

Quem nunca brincou de preencher um quadrado mágico?

1 – aquele em que você tentava dispor vários números de forma que a soma fosse a mesma nas diagonais do quadrado, nas linhas e também, nas colunas.

Um quadrado mágico muito interessante, que possibilita uma reflexão de fácil entendimento é o de três linhas e três colunas, no qual, deve-se dispor os números de 1 a 9, de modo que a soma em cada linha, coluna e diagonal, seja 15.

A matemática do quadrado mágico não é tão elementar, mas a análise lógica que será aqui apresentada deste quadrado pode ser trabalhada em sala de aula por professores desde as séries iniciais do Ensino Fundamental – segundo ciclo – por não exigir muitos pré-requisitos.

Vamos à solução, analisando cada situação:

1°) São nove algarismos a serem dispostos no quadro:

1-2-3-4-5-6-7-8-9

2°) Entre os números de 1 a 9 temos:

Ímpares = 5

Pares = 4

3°) As possíveis combinações de três parcelas são:

a)par+par+par = par

b)par+par+impar = ímpar

c)par+ímpar+ímpar = par

d)ímpar+ímpar+ímpar= ímpar

4°) Analisando as combinações acima, vemos que as únicas possíveis são “b” e “d”, pois o número 15 é ímpar.

5°) O número que deve ocupar o centro do quadrado merece atenção especial, pois irá ser parcela de quatro das oito somas. Suponha que o número do centro seja par.

Pelo 3°b item, os outros dois números de cada diagonal devem ser um deles, par e o outro, ímpar:

6°) O que leva a duas situações:

Primeira

Esta forma exige um número ímpar na primeira linha, para que a soma seja ímpar, pelo item 3°d.

Mas isso força que seja colocado um número par para completar a coluna do meio, pelo item 3°b, o que vai deixar a terceira linha com três números pares:

Segunda

Leva ao mesmo raciocínio, pois é uma rotação anti-horária da primeira.

7°) Nos resta tentar pôr um número ímpar no centro do quadrado mágico.

Pelo item 3°, há duas possíveis formas de preencher as diagonais do quadrado de modo que as somas sejam ímpares, o que nos leva a quatro combinações possíveis.

Analisemos cada uma:

PRIMEIRA:

Esta não é a solução, pois pelo item 3°c, completando as demais casas com números pares, as somas das linhas e colunas, seriam todas pares.

Segunda

Esta não é a solução, pois todas as casas restantes devem ser preenchidas com números pares. Mas só temos 4 pares de 1 a 9. Aqui são necessários 6.

Terceira

Também não é a solução, pois não passa de uma rotação anti-horária do caso anterior.

Quarta

Esta pode ser a solução, pois basta completar as casas vazias com ímpares. Logo, o número do centro é ímpar.

8º) Analisemos agora, as combinações que resultam 15, contendo dois nos pares para preenchermos as duas diagonais.

1+8+6

2+8+5

2+6+7

2+9+4

3+4+8

4+5+6

9°)O único número ímpar que se apresenta em duas das adições anteriores é o 5, Logo, este deve ser o número do centro. Ficando a seguinte disposição.

10°) A disposição dos números 4 e 6 na outra diagonal não altera o resultado, pois trata-se de uma rotação da solução.

Depois, é só dispor os números restantes.

11°) Estas são todas as possíveis soluções para o quadrado mágico 3x3:

12º)Todos os outros quadrados mágicos 3x3 têm como estrutura o modelo base anterior. Exemplos:

a) Se adicionarmos um número qualquer a todos os números de 1 a 9 na solução anterior teremos um novo quadrado mágico.

Somando 6, por exemplo, temos um, em que se deve dispor os números de 7 a 15 de modo que a soma seja 33.

b) Se multiplicarmos os números da solução por 2 e subtraindo 2, teremos um novo quadrado mágico em que dispondo os nove primeiros pares a soma será 24.

c) Se somarmos 1 aos números da solução anterior, teremos um quadrado mágico em que dispondo os nove primeiros ímpares, a soma será 27.

Como pode se observar, essa forma de resolução do quadrado 3x3 é de fácil entendimento para professores e alunos, por não necessitar de um aprofundamento em conceitos matemáticos.