Adições mágicas *

Adições Mágicas

As operações aritméticas costumam ser motivo de várias atividades de recreação matemática. Desde as operações lacunadas, passando pelos famosos quadrados e triângulos mágicos, até outro tipo de contextos lúdico-matemáticos, podemos encontrar essas operações. Centremos, contudo, a atenção na operação adição e vamos associá-la a uma figura já nossa conhecida, que é a de um calendário de bolso:

Na figura acima vamos seleccionar, por exemplo, um conjunto de 16 números, formando um quadrado de quatro por quatro números, iniciado no 2 e terminando no 26.

Como justificar a magia de se obter sempre a soma 56, ao selecionarem-se apenas quatro desses dezasseis números, de acordo com as seguintes regras:

(1) selecionar um desses 16 números e eliminar todos os restantes números da linha e da coluna a que esse número seleccionado estado afeto;

(2) dos restantes números não seleccionados nem eliminados, seleccionar um segundo número, eliminando, tal como no primeiro caso, todos os números da respectiva linha e da respectiva coluna;

(3) selecionar um novo número ainda não selecionado e proceder como nos dois casos anteriores;

(4) como ainda há um número por seleccionar, este será selecionado e adicionado aos restantes três anteriormente selecionados.

Confirma-se, ou não, a soma 56? Porque será?

Em contexto de sala de aula, esta tarefa pode ser utilizada para se fazer um estudo de natureza investigativa. Seria interessante que os alunos concluíssem que os quatro números seleccionados, independentemente das suas posições no quadrado numérico, estão a representar todas as linhas e todas as colunas desse quadrado, e apenas uma vez. Dois casos exemplificativos deste tipo de selecção são as duas diagonais do quadrado. Note-se que em ambos os casos a soma é 56. Analisando mais em pormenor, nem é necessário adicionar esses quatro números, pois basta adicionar os extremos e multiplicar por dois.

De facto analisemos os seguintes números: 2, 10, 18 e 26. Se atribuirmos ao 2 o valor a, temos a, a + 8, a + 16 e a + 24. Tudo adicionado dá 4a + 48. Logo, basta até multiplicar o menor dos números do quadrado por 4 e adicionar o valor 48. O resultado coincidirá, pois, com a soma de quaisquer quatro números seleccionados de acordo com as regras aqui estipuladas.

Será que este estudo é válido para um quadrado formado por 9 números, em que a quantidade de números a seleccionar é 3? Como fazer nestes casos?